طريقة نيوتن رافسون لحل وايجاد جذور المعادلة Newton Raphson Method for Equation Solving

طريقة نيوتن رافسون لحل وايجاد جذور المعادلات الجبرية 

Newton-Raphson method consists in the estimation of optimum approximations of the roots of a nonlinear equation according to the iterative procedure.

 

 

المعادلة التعويضية لطريقة نيوتن رافسون بدلالة الدالة والمشتقة الاولى لها :

x_i+1 = x_i - f(x_i) / f ’(x_i)

طريقة حساب نسبة الخطأ : 

Error = |Δx| = |x_i+1 – x_i| = |f(x_i) / f ’(x_i)|

مثال (1) ايجاد جذور حل المعادلة f(x) = x² - 9 باستخدام طريقة نيوتن رافسون :

Example (1) Solve the equation :  f(x) = x² - 9 using Newtom Raphson:

Answer:

f ’(x) = 2x
x_i+1 = x_i - f(x_i) / f ’(x_i) 
x_i+1 = x - (x² – 9 ) / (2x)

Let intial value for x0 = 1 and iterate till convergence.
X₁ = 1 – (1² – 9 ) / (2 * 1) = 5  ;    error = (1² – 9 ) / (2 * 1)
X₂ = 3.4 ;          error = 0.3765
X₃ = 3.0235 ;      error = 0.0234
X₄ = 3.0001 ;      error = 0.00009
X₅ = 3 ;             error = 0

كود برنامج الماتلاب Matlab لحل المعادلة f(x) = x² - 9 :

x = 1 ;
for i = 1:100
    x = x - (x^2 - 9) / (2*x) ;
    err = abs( (x^2 - 9) / (2*x) ) ;
    if ( err < 0.0001)
       break;
    end;
end
display(x)

مثال (2) ايجاد جذور حل المعادلة f(x) = x² - e^2x باستخدام طريقة نيوتن رافسون :

Example (2) Solve the equation :  f(x) = x² - e^2x using Newtom Raphson:

Answer:

f ’(x) = 2x - 2e^2x
x_i+1 = x_i - f(x_i) / f ’(x_i) 
x_i+1 = x - (x² – e^2x ) / (2x - 2e^2x)

ِAssume x0 = 1 and Error Tolerance = 0.0001 then iterate till convergence.

كود برنامج الماتلاب Matlab لحل المعادلة f(x) = x² - e^2x :

%1e-4 equal 0.0001
ErrTol = 1e-4;  
x = 1 ;
for i = 1:100
    f = x^2 - exp(2*x) ;
    fd = 2*x - 2*exp(2*x);
    x = x - f / fd ;
    err = abs(f / fd) ;
    if ( err < ErrTol )
       break;
    end;
end
display(x)
 

مثال (3) ايجاد جذور حل المعادلة f(x) = x² - 4cos(x) باستخدام طريقة نيوتن رافسون :

The function = f = x² - 4cos(x)
The derivative = df = 2x + 4sin(x);

Assume error tolerance = 0.0001
The error tolerance (10^-4) can be written in matlab code as (0.0001) or  (1e-4)

كود برنامج الماتلاب Matlab لحل المعادلة f(x) = x² - 4cos(x) :

tolerance = 1e-4;
x = 3 ;
for i = 1:100
    f = x^2-4*cos(x);
    df = 2*x + 4*sin(x);
    x = x - f/df ;
    tolErr = abs(f/df) ;
    if (tolErr < tolerance)
       break;
    end;
end
display(x)